Ekvationssystem med två okända
Ett system med två linjära ekvationer i två okända (x och y) kan ha en unik lösning, oändligt många, eller ingen — beroende på om linjerna skär varandra, sammanfaller eller är parallella.
Lös ekvationssystemet
a₁ · x + b₁ · y = c₁
a₂ · x + b₂ · y = c₂
Tre lösningsmetoder
1. Substitution
Lös en ekvation för en variabel och sätt in i den andra.
- Från ekvation 1: y = (c₁ − a₁x) / b₁
- Sätt in i ekvation 2: a₂x + b₂ · (c₁ − a₁x)/b₁ = c₂
- Lös för x, sedan beräkna y
2. Addition (eliminering)
Multiplicera ekvationerna så att en variabel försvinner vid addition.
- Multiplicera ekv 1 med a₂ och ekv 2 med a₁
- Subtrahera: x-termen försvinner
- Lös för y, sedan beräkna x
3. Kramers regel (determinanter)
Verktyget använder denna metod. Med determinanter D, D_x, D_y:
- D = a₁b₂ − a₂b₁
- D_x = c₁b₂ − c₂b₁
- D_y = a₁c₂ − a₂c₁
- x = D_x / D, y = D_y / D
Vad determinanten betyder
| D | Tolkning | Geometri |
|---|---|---|
| D ≠ 0 | Unik lösning | Linjerna skär i en punkt |
| D = 0, D_x = D_y = 0 | Oändligt många lösningar | Linjerna sammanfaller |
| D = 0, D_x ≠ 0 eller D_y ≠ 0 | Ingen lösning | Linjerna är parallella |
Verkliga exempel
- Två produkter, två restriktioner: "Vi har 100 timmar och 5000 kr — hur många A och B ska vi tillverka?"
- Möte mellan två fordon: Tåget från Stockholm 09:00 i 80 km/h, tåget från Göteborg 09:30 i 100 km/h — när möts de?
- Blanda två lösningar: "Hur mycket 20 % saltvatten och 5 % saltvatten ska blandas för 1 liter 12 %?"
- Linjär regression med två parametrar: bestäm k och m i y = kx + m utifrån två datapunkter
Större system (3x3, 4x4)
För större system används matrisräkning — Gauss-eliminering är standardmetoden. För system med fler ekvationer än okända kan det bli överbestämt (söker bästa anpassning med minsta kvadrat-metoden).
Vanliga frågor
Vilken formel använder räknaren?
Formeln visas under räknaren tillsammans med en kort förklaring av räkningen. Det är samma formel som används i svenska läromedel för grundskola och gymnasium.
Fungerar räknaren för stora tal eller många decimaler?
Räknaren använder JavaScript-precision (64-bitars flyttal) vilket ger cirka 15 signifikanta siffror. För mycket stora heltal eller hög decimalprecision rekommenderas separata matematikverktyg.
Kan jag använda räknaren i skolan eller på prov?
Räknaren är gratis att använda för läxor och övning. Vid prov följer du skolans regler för hjälpmedel — ofta är digitala räknare tillåtna men kontrollera med läraren.
Vad händer om jag skriver in negativa eller udda tal?
Räknaren hanterar vanliga giltiga inmatningar inklusive negativa tal och decimaler. Ogiltiga inmatningar (t.ex. text eller orealistiska värden) ger ett tomt eller felaktigt resultat — kontrollera din inmatning.