Derivata — räkna ut derivatan av polynom
Derivatan mäter funktionens ändringshastighet — eller geometriskt sett, tangentens lutning vid en punkt. Verktyget räknar derivatan av polynom av grad upp till 5.
Räkna ut
f(x) = a · x⁵ + b · x⁴ + c · x³ + d · x² + e · x + f
Grundregler för derivering
Potensregeln
d/dx (xⁿ) = n · xⁿ⁻¹
- d/dx (x²) = 2x
- d/dx (x³) = 3x²
- d/dx (x) = 1
- d/dx (konstant) = 0
- d/dx (1/x) = −1/x²
- d/dx (√x) = 1/(2√x)
Linjäritet
Derivatan av en summa = summan av derivatorna. Konstantfaktor "kommer ut": d/dx (k · f(x)) = k · f'(x).
Produktregeln
(f · g)' = f' · g + f · g'
Kvotregeln
(f / g)' = (f' · g − f · g') / g²
Kedjeregeln
(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)
Tabell över vanliga derivator
| f(x) | f'(x) |
|---|---|
| xⁿ | n · xⁿ⁻¹ |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tan x | 1/cos²x |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ · ln(a) |
| ln x | 1/x |
| log_a(x) | 1 / (x · ln a) |
| arcsin x | 1 / √(1−x²) |
| arctan x | 1 / (1+x²) |
Vad betyder derivatan?
- Hastighet: derivatan av sträcka mot tid är hastigheten
- Acceleration: derivatan av hastigheten
- Marginalintäkt/-kostnad: derivatan av total intäkt/kostnad
- Tangentlutning: lutningen på den linje som tangerar grafen
- Maximum/minimum: där derivatan är 0 finns extrempunkter
Hitta extrempunkter
För att hitta lokala max och min:
- Räkna derivatan f'(x)
- Lös f'(x) = 0
- Klassificera med andraderivatan: f''(x) > 0 → minimum, f''(x) < 0 → maximum
Användning
- Optimering: max vinst, min kostnad
- Fysik: rörelseekvationer, värme- och elektromagnetism
- Maskininlärning: gradientdescent
- Finans: Black-Scholes-modellen
- Ekonomi: marginalanalys
Vanliga frågor
Vilken formel använder räknaren?
Formeln visas under räknaren tillsammans med en kort förklaring av räkningen. Det är samma formel som används i svenska läromedel för grundskola och gymnasium.
Fungerar räknaren för stora tal eller många decimaler?
Räknaren använder JavaScript-precision (64-bitars flyttal) vilket ger cirka 15 signifikanta siffror. För mycket stora heltal eller hög decimalprecision rekommenderas separata matematikverktyg.
Kan jag använda räknaren i skolan eller på prov?
Räknaren är gratis att använda för läxor och övning. Vid prov följer du skolans regler för hjälpmedel — ofta är digitala räknare tillåtna men kontrollera med läraren.
Vad händer om jag skriver in negativa eller udda tal?
Räknaren hanterar vanliga giltiga inmatningar inklusive negativa tal och decimaler. Ogiltiga inmatningar (t.ex. text eller orealistiska värden) ger ett tomt eller felaktigt resultat — kontrollera din inmatning.