Logaritmer — log, ln och valfri bas
En logaritm svarar på frågan: "Vilken potens av basen ger detta tal?" log₁₀(1000) = 3 eftersom 10³ = 1000. ln(e) = 1 eftersom e¹ = e. Logaritmer var oumbärliga innan miniräknaren för att göra multiplikationer till additioner.
Räkna ut
Vanliga logaritmvärden
| x | log₁₀(x) | ln(x) | log₂(x) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| e ≈ 2,718 | 0,434 | 1 | 1,443 |
| 10 | 1 | 2,303 | 3,322 |
| 100 | 2 | 4,605 | 6,644 |
| 1 000 | 3 | 6,908 | 9,966 |
| 1 000 000 | 6 | 13,816 | 19,932 |
| 2 | 0,301 | 0,693 | 1 |
| 0,5 | −0,301 | −0,693 | −1 |
| 0,1 | −1 | −2,303 | −3,322 |
Logaritmlagar (räknelagar)
- Multiplikation → addition: log(a × b) = log a + log b
- Division → subtraktion: log(a / b) = log a − log b
- Potens → multiplikation: log(aⁿ) = n × log a
- Bytesformel: log_b(x) = log_a(x) / log_a(b)
- log(1) = 0 (oavsett bas)
- log_b(b) = 1 (logaritmen av basen är 1)
- log(0) är odefinierat (går mot −∞)
- log av negativt tal är odefinierat (för reella tal)
Olika logaritmer i olika sammanhang
| Logaritm | Bas | Använd för |
|---|---|---|
| log eller log₁₀ (briggsk) | 10 | pH, decibel, Richter, vetenskaplig notation |
| ln eller logₑ (naturlig) | e ≈ 2,718 | Kalkyl, ränta, fysik, kemi |
| log₂ (binär) | 2 | Datavetenskap, informationsteori (bitar) |
Logaritmer i verkligheten
- pH-skala: pH 5 är 10 ggr surare än pH 6, 100 ggr surare än pH 7.
- Decibel: 10 dB skillnad = 10 ggr starkare ljud. 20 dB = 100 ggr.
- Richter-skala: jordbävning 7,0 är 10 ggr starkare än 6,0.
- Ljusstyrka stjärnor (magnitud): 1 magnitud skillnad ≈ 2,5 ggr.
- Frekvenser i musik: oktav = fördubbling av frekvens; örat upplever det logaritmiskt.
- Webers lag (psykofysik): sinnesintryck växer logaritmiskt med stimulus.
Naturliga logaritmen e
e ≈ 2,71828... är basen för naturliga logaritmen. Den dyker upp överallt där tillväxt eller sönderfall är kontinuerligt:
- Ränta-på-ränta vid kontinuerlig sammansättning: A = P · e^(rt)
- Sönderfall: N(t) = N₀ · e^(−λt)
- Sannolikhetsfunktioner (normalfördelning, exponentialfördelning)
- Eulers identitet: e^(iπ) + 1 = 0 — sammankopplar fem grundläggande konstanter
Tumregler
- log₁₀ av ett tal ≈ antalet siffror minus 1 (log 1234 ≈ 3)
- log₂ av ett tal ≈ antalet bitar för att representera det binärt
- ln(2) ≈ 0,693 (kommer i "regel om 70" för dubblering)
Vanliga frågor
Vilken formel använder räknaren?
Formeln visas under räknaren tillsammans med en kort förklaring av räkningen. Det är samma formel som används i svenska läromedel för grundskola och gymnasium.
Fungerar räknaren för stora tal eller många decimaler?
Räknaren använder JavaScript-precision (64-bitars flyttal) vilket ger cirka 15 signifikanta siffror. För mycket stora heltal eller hög decimalprecision rekommenderas separata matematikverktyg.
Kan jag använda räknaren i skolan eller på prov?
Räknaren är gratis att använda för läxor och övning. Vid prov följer du skolans regler för hjälpmedel — ofta är digitala räknare tillåtna men kontrollera med läraren.
Vad händer om jag skriver in negativa eller udda tal?
Räknaren hanterar vanliga giltiga inmatningar inklusive negativa tal och decimaler. Ogiltiga inmatningar (t.ex. text eller orealistiska värden) ger ett tomt eller felaktigt resultat — kontrollera din inmatning.