Tredjegradsekvation — lös ax³ + bx² + cx + d = 0
En tredjegradsekvation har alltid minst en reell rot. Den kan ha 1 eller 3 reella rötter. Verktyget använder Newton-Raphson för att hitta dem numeriskt.
Räkna ut
a · x³ + b · x² + c · x + d = 0
Diskriminanten
Bestämmer antalet och typen av rötter:
Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d²
| Δ | Rötter |
|---|---|
| Δ > 0 | 3 reella distinkta rötter |
| Δ = 0 | 3 reella rötter, varav minst 2 lika |
| Δ < 0 | 1 reell rot + 2 komplext-konjugerade |
Vietas formler
För ax³ + bx² + cx + d = 0 med rötter r₁, r₂, r₃:
- r₁ + r₂ + r₃ = −b/a
- r₁r₂ + r₂r₃ + r₃r₁ = c/a
- r₁ · r₂ · r₃ = −d/a
Cardanos formel — historia
Gerolamo Cardano publicerade 1545 en allmän lösning till tredjegradsekvationen i Ars Magna. Lösningen var dock kontroversiell — han hade lärt sig den av Niccolò Tartaglia under tystnadslöfte.
Cardanos metod:
- Substituera x = t − b/(3a) för att eliminera kvadrattermen
- Ekvationen blir t³ + pt + q = 0 (deprimerad form)
- Lös med Cardanos formel: t = ∛(−q/2 + √(q²/4 + p³/27)) + ∛(−q/2 − √(q²/4 + p³/27))
Numeriska metoder (Newton-Raphson)
Den moderna metoden för att lösa polynom är iteration. Newton-Raphson:
xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / f'(xₙ)
Genom att börja från olika startvärden hittas alla rötter. Konvergensen är kvadratisk — antalet korrekta siffror ungefär fördubblas per iteration.
Användning
- Volym vs dimension: hitta sida i en kub av given volym
- Termoekonomi: ekvationer för värmeöverföring
- Mekanik: deformerade kropps geometri
- Finansiell IRR-beräkning: avkastningsekvationer
- Kemi: tillståndsekvationer (van der Waals)
Faktorisering
Om du hittar en rot r kan du dividera polynomet med (x − r) och få en kvarvarande andragradare. Den löses lätt med klassiska formeln eller pq-formeln.
Vanliga frågor
Vilken formel använder räknaren?
Formeln visas under räknaren tillsammans med en kort förklaring av räkningen. Det är samma formel som används i svenska läromedel för grundskola och gymnasium.
Fungerar räknaren för stora tal eller många decimaler?
Räknaren använder JavaScript-precision (64-bitars flyttal) vilket ger cirka 15 signifikanta siffror. För mycket stora heltal eller hög decimalprecision rekommenderas separata matematikverktyg.
Kan jag använda räknaren i skolan eller på prov?
Räknaren är gratis att använda för läxor och övning. Vid prov följer du skolans regler för hjälpmedel — ofta är digitala räknare tillåtna men kontrollera med läraren.
Vad händer om jag skriver in negativa eller udda tal?
Räknaren hanterar vanliga giltiga inmatningar inklusive negativa tal och decimaler. Ogiltiga inmatningar (t.ex. text eller orealistiska värden) ger ett tomt eller felaktigt resultat — kontrollera din inmatning.